Глава 1. Ось и отрезок оси. Координаты на прямой

Прямая, на которой выбрано положительное направление, называется осью. Отрезок оси, огрниченный какими-нибудь точками A и B, называется направленным, если сказано, какая из этих точек считается началом отрезка, какая – концом. Направленный отрезок с началом A и концом B обозначается символом . Величиной направленного отрезка оси называется его длина, взятая со знаком плюс, если направление отрезка (т.е. направление от начала к концу) совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус, если это направление противоположно положительному направлению оси. Величина отрезка обозначается символом , его длина – символом . Если точки A и B совпадают, то определяемый ими отрезок называется нулевым; очеидно, в этом случае АВ=ВА=0 (направление нулевого отрезка следует считать неопределенным).

Пусть дана произвольная прямая а. Выберем некоторый отрезок в качестве единицы измерения длин, назначим на прямой а положительное направление (после чего она становится осью) и отметим на этой прямой буквой О какую-нибудь точку. Тем самым на прямой а будет введена система координат.

Координатой любой точки М прямой а (в установленной системе координат) называется число x, равное величине отрезка ОМ:

Точка О называется началом координат; ее собственная координата равна нулю. В дальнейшем символ М(х) означает, что точка М имеет координату х.

Если и - две произвольные точки прямой а, то формула

выражает величину отрезка , формула

выражает его длину.

1 Построить точки А(3), В(5), С(-1), D(2/3), Е(-3/7),, .
2 Построить точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям:
2.1  
2.2
2.3
2.4
3 Охарактеризовать геометрически расположение точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:
3.1 x>2
3.2 x – 3? 0
3.3 12 – x <0
3.4 2x – 3 ? 0
3.5 3x – 5 >0
3.6 1 < x < 3
3.7 –2 < x < 3
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12 x2 – 8x +15 ? 0
3.13 x2 – 8x + 15 >0
3.14 x2 + x – 12>0
3.15 x2 + x -12? 0
4 Определить величину АВ и длину отрезка, заданного точками:
4.1 А(3) и В(11)
4.2 А(5) и В(2)
4.3 А(-1) и В(3)
4.4 А(-5) и В(-3)
4.5 А(-1) и В(-3)
4.6 А(-7) и В(-5)
5 Вычислить координату точки А, если известны:
5.1 В(3) и АВ=5
5.2 В(2) и АВ=-3
5.3 В(-1) и ВА=2
5.4 В(-5) и ВА=-3
5.5 В(0) и =2
5.6 В(2) и =3
5.7 В(-1) и =5
5.8 В(-5) и =2
6 Охарактеризовать геометрически расположение точек, координаты которых удовлетворяют следующим неравенствам:
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
7 Определить отношение l =AC/CB, в котором точка С делит отрезок АВ при следующих данных:
7.1 А(2), В(6), С(4)
7.2 А(2), В(4), С(7)
7.3 А(-1), В(5), С(3)
7.4 А(1), В(13), С(5)
7.5 А(5), В(-2), С(-5)
8 Даны три точки А(-7), В(-1), С(1). Определить отношение l , в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.
9 Определить отношение l =М1М/ММ2, в котором данная точка М(х) делит отрезок М1М2, ограниченный точками М1(х1) и М2(х2).
10 Определить координату х точки М, деляющей отрезок М1М2, ограниченный данными точками М1(х1) и М2(х2), в данном отношении l (l =М1М/ММ2).
11 Определить координату х середины орезка, ограниченного данными точками М1(х1) и М2(х2).
12 Определить координату х середины отрезка, ограниченного двумя данными точками, в каждом из следующих случаев:
12.1 А(3) и В(5)
12.2 С(-1) и D(5)
12.3 M1(-1) и M2(-3)
12.4 P1(-5) и P2(1)
12.5 Q1(3) и Q2(-4)
13 Определить координату точки М, если известны:
13.1 М1(3), М2(7) и l =М1М/ММ2=2
13.2 А(2), В(-5) и l =АМ/МВ=3
13.3 С(-1), D(3) и l =CM/MD=1/2
13.4 А(-1), В(3) и l =АМ/МВ=-2
13.5 А(1), В(-3) и l =ВМ/МА=-3
13.6 А(-2), В(-1) и l =ВМ/МА=-1/2
14 Даны две точки А(5) и В(-3). Определить:
14.1 координату точки M, симметричной точке А относительно точки В
14.2 координату точки N, симметричной точке В относительно точки А
15 Даны две точки А(5) и В(19), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.
16 Определить координаты концов А и В отрезка, который точками P(-25) и Q(-9) разделен на три равные части.

Текст издания: © Д.В.Клетенник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/