Глава 7. Преобразование координат

Преобразование декартовых координат при параллельном сдвиге осей определяется формулами

, .

Здесь x, y - координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, x’, y’ - координаты той же точки относительно новых осей, a, b - координаты нового начала O’ относительно старых осей (говорят также, что a - величина сдвига в направлении оси абсцисс, b - величина сдвига в направлении оси ординат).

Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей на угол (который надо понимать, как в тригонометрии) определяется формулами

, .

Здесь x, y суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, x’, y’ - координаты той же точки относительно новых осей.

Формулы

,

определяют преобразование координат при параллельном сдвиге системы осей на величину а в направлении Ох, на величину b в направлении Оу и последующем повороте осей на угол . Все указанные формулы соответствуют преобразованию координат при неизменном масштабе. Неизменность масштаба предполагается также в нижеприводимых задачах.

127 Написать формулы преобразований координат, если начало координат (без изменения направления осей) перенесено в точку:
127.1 А(3; 4);
127.2 B(-2; 1);
127.3 C(-3; 5).
128 Начало координат перенесено (без изменения направления осей) в точку O’(3; -4). Координаты точек А(1; 3), B(-3; 0), C(-1; 4) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.
129 Даны точки A(2; 1), B(-1; 3), C(-2; 5). Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено (без изменения направления осей):
129.1 в точку А;
129.2 в точку В;
129.3 в точку С.
130 Определить старые координаты начала O’ новой системы, если формулы преобразования заданы следующими равенствами:
130.1 , ;
130.2 , ;
130.3  , ;
130.4  , ;
131 Написать формулы преобразований координат, если координатные оси повернуты на один из следующих углов:
131.1 600;
131.2 –450;
131.3 900;
131.4 –900;
131.5 1800.
132 Координатные оси повернуты на угол =600. Координаты точек А(; -4), B(; 0), C(0; ) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе.
133 Даны точки M(3; 1), N(-1; 5), P(-3; -1). Найти их координаты в новой системе, если оси координат повернуты на угол:
133.1 –450;
133.2 900;
133.3 –900;
133.4 1800.
134 Определить угол , на который повернуты оси, если формулы преобразования координат заданы следующими равенствами:
134.1 , ;
134.2 , ;
135 Определить координаты точки O’ – нового начала координат, если точка А(3; -4) лежит на новой оси абсцисс, а точка B(2; 3) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.
136 Написать формулы преобразования координат, если точка M1(2; -3) лежит на новой оси абсцисс, а точка M2(1; -7) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.
137 Две системы координатных осей Ox, Oy и Ox’, Oy’ имеют общее начало О и преобразуются одна в дргую поворотом на некоторый угол. Координаты точки А(3; –4) определены относительно первой из них. Вывести формулы преобразования координат, зная, что положительное направление оси Ox’ определено отрезком .
138 Начало координат перенесено в точку O’(-1; 2), координатные оси повернуты на угол . Координаты точек M1(3; 2), M2(2; -3), M3(13; -13) определены в новой системе. Вычислить координаты эти же точек в старой системе координат.
139 Даны точки A(5; 5), B(2; -1), C(12; -6). Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено в точку В, а координатные оси повернуты на угол .
140 Определить старые координаты нового начала и угол , на который повернуты оси, если формулы преобразвоания координат заданы следующими равенствами:
140.1 , ;
140.2 , ;
140.3 , ;
141 Даны точки M1(9; -3), M2(-6; 5). Начало координат перенесено в точку M1, а координатные оси повернуты так, что положительное направление новой оси абсцисс совпадает с направлением отрезка . Вывести формулы преобразования координат.
142 Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и направлена одинаково с нею. Даны декартовы прямоугольные координаты полюса O(1; 2) и полярные координаты точек M1(7; /2), M2(3; 0), M3(5; -/2), M4(2; 2/3), M5(2; -/6). Определить координаты этих точек в декартовой прямоугольной системе координат.
143 Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла. Даны полярные координаты точек M1(5; /4), M2(3; -/4), M3(1; 3/4), M4(6; -3/4), M5(2; -/12). Определить декартовы прямоугольные ординаты этих точек.
144 Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и одинаково с нею направлена. Даны декартовы прямоугольные координаты полюса O(3; 2) и точек M1(5; 2), M2(3; 1), M3(3; 5), M4(, ), M5(; 3). Определить полярные координаты этих точек.
145 Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла. Даны декартовы координаты точек M1(-1; 1), M2(; ), M3(1; ), M4(, 1), M5(, -2). Определить полярные координаты этих точек.

Текст издания: © Д.В.Клетенник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/