Глава 13. Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнение двух и трех прямых. Уравнение прямой "в отрезках"

Если в общем уравнении прямой

(1)

один или два из трех коэффициентов (считая и свободный член) обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи:

1). С=0; уравнение имеет вид и определяет прямую, проходящую через начало координат.

2). В=0 (А0); уравнение имеет вид и определяет прямую, перпендикулярную к оси Ох. Это уравнение может быть записано в виде х=а, где является величиной отрезка, который отсекает прямая на оси Ох, считая от начала координат.

3). В=0, С=0 (А0); уравнение может быть записано в виде х=0 и определяет ось ординат.

4). А=0 (В0); уравнение имеет вид и определяет прямую, перпендикулярную к оси Оу. Это уравнение может быть записано в виде y=b, где является величиной отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

5). А=0, С=0 (В0); уравнение может быть записано в виде у=0 и определяет ось абсцисс.

Если ни один из коэффициентов уравнения (1) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду

, (2)

где , суть величины отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях.

Уравнение (2) называется уравнением прямой «в отрезках».

Если две прямые даны уравнениями

и ,

то могут представиться три случая:

а). - прямые имеют одну общую точку;

б). - прямые параллельны;

в). - прямые сливаются, то есть оба уравнения определяют одну и ту же прямую.

285 Определить, при каком значении a прямая :
285.1 Параллельна оси абсцисс;
285.2 Параллельна оси ординат;
285.3 Проходит через начало координат.
286 Определить, при каких значениях m и n прямая параллельна оси абсцисс и отсекает на оси ординат отрезок, равный –3 (считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.
287 Определить, при каких значениях m и n прямая параллельна оси ординат и отсекает на оси абсцис отрезок, равный +5 (считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.
288 Доказать, что в следующих случаях две данные прямые пересекаются, и найти точку их пересечения:
288.1 , ;
288.2 , ;
288.3 , ;
288.4 , ;
288.5 , .
289 Доказать, что в следующих случаях две данные прямые параллельны:
289.1 , ;
289.2 , ;
289.3 , ;
289.4 , .
290 Доказать, что в следующих случаях две данные прямые параллельны:
290.1 , ;
290.2 , ;
290.3 , .
291 Определить, при каких значениях a и b две прямые , :
291.1 Имеют одну общую точку;
291.2 Параллельны;
291.3 Совпадают
292 Определить, при каких значениях m и n две прямые , :
292.1 Параллельны;
292.2 Совпадают;
292.3 Перпендикулярны.
293 Определить, при каком значении m две прямые , пересекаются в одной точке, лежащей на оси абсцисс.
294 Определить, при каком значении m две прямые , пересекаются в точке, лежающей на оси ординат.
295 Установить, пересекаются ли в одной точке три прямые в следующих случаях:
295.1 , , ;
295.2 , , ;
295.3 , , .
296

Доказать, что если три прямые , , пересекаются в одной точке, то

.

297

Доказать, что если

,

то три прямые , , пересекаются в одной точке или параллельны.

298 Определить, при каком значении а три прямые , , будут пересекаться в одной точке.
299 Даны прямые. Составить для них уравнения «в отрезках» и построить эти прямые на чертеже.
299.1  ;
299.2 ;
299.3 ;
299.4 ;
299.5 .
300 Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла.
301 Составить уравнение прямой, которая проходит через точку M1(3; -7) и отсекает на коордиатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным от начала координат).
302 Составить уравнение прямой, которая проходит через точку P(2; 3) и отсекает на координатных осях отрезки равной длины, считая каждый отрезок от начала координат.
303 Составить уравнение прямой, которая проходит через точку С(1; 1) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равно 2.
304 Составить уравнение прямой, которая проходит через точку В(5; -5) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 50.
305 Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(8; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12.
306 Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(12; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 15.
307 Через точку М(4; 3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3. Определить точки пересечения той прямой с осями координат.
308 Через точку M1(x1, y1), где x1y1>0, проведена прямая , отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна S. Определить, при каком соотношении между величинами x1, y1 и S отрезки a и b будут иметь одинаковые знаки.

Текст издания: © Д.В.Клетенник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/