Глава 14. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой

Глава 14. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой

Пусть на плоскости хОу дана прямая. Проведем через начало координат перпендикуляр к данной прямой и назовем его нормалью. Обозначим через Р точку пересечения нормали с данной прямой и установим положительное направление нормали от точки О к точке Р.

Если - полярный угол нормали, р - длина отрезка (рис.), то уравнение данной прямой может быть записано в виде

;

уравнение этого вида называется нормальным.

Пусть дана какая-нибудь прямая и произвольная точка ; обозначим через d расстояние от точки М* до данной прямой. Отклонением точки от прямой называется число +d, если данная точка и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, и -d, если данная точка и начало координат расположены по одну сторону от данной прямой. (Для точек, лежащих на самой прямой, =0). Если даны координаты , точки и нормальное уравнение прямой , то отклонение точки от этой прямой может быть вычислено по формуле

.

Таким образом, чтобы найти отклонение какой-нибудь точки от данной прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих координат подставить координаты точки . Полученное число будет равно искомому отклонению.

Чтобы найти расстояние d от точки до прямой, достаточно вычислить отклонение и взять его модуль: .

Если дано общее уравнение прямой , то, чтобы привести его к нормальному виду, нужно все члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель , определяемый формулой

.

Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.

309
Определить, какие из следующих уравнений прямых являются нормальными:

309.1 ;

309.2 ;

309.3 ;

309.4 ;

309.5 ;

309.6 ;

309.7 ;

309.8 .

310 Привести общее уравнение прямой к нормальному виду в каждом из следующих случаев:

310.1 ;

310.2 ;

310.3 ;

310.4 ;

310.5 .

311 Даны уравнения прямых. Определить полярный угол нормали и отрезок p для каждой из данных прямых: по полученным значениям параметров и р построить эти прямые на четеже (в последних двух случаях построение прямой выполнить, считая =30⁰ и q=2).

311.1 ;

311.2 ;

311.3 ;

311.4 ;

311.5 ;

311.6 ;

311.7 ;

311.8 , q>0, - острый угол.

311.9 , q>0, - острый угол.

312 Вычислить величину отклонения и расстояние d от точки до прямой в каждом из следующих случаев:

312.1 A(2; -1), ;

312.2 B(0; -3), ;

312.3 P(-2; 3), ;

312.4 Q(1; -2), .

313 Установить, лежат ли точка М(1; -3) и начало координат по одну или разные стороны каждой из следующих прямых:

313.1 ;

313.2 ;

313.3 ;

313.4 ;

313.5 .

314 Точка А(2; -5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Вычислить площадь этого квадрата.

315 Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и одна из его вершин А(-2; 1). Вычислить площадь этого прямоугольника.

316 Доказать, что прямая пересекает отрезок, ограниченный точками А(-5; 1), В(3; 7).

317 Доказать, что прямая не пересекает отрезка, ограниченного точками M₁(-2; -3), M₂(1; -2).

318 Последовательные вершины четырехугольника суть точки A(-1; 6), B(-1; -4), C(7; -1), D(2; 9). Установить, является ли этот четырехугольник выпуклым.

319 Последовательные вершины четырехугольника суть точки A(-1; 6), B(1; -3), C(4; 10), D(9; 0). Установит, является ли этот четырехугольник выпуклым.

320 Даны вершины треугольника A(-10; -13), B(-2; 3), C(2; 1). Вычислить длину перпендикуляра, оущенного из вершины В на медиану, проведенную из вершины С.

321 Стороны АВ, ВС, СА треугольника АВС, соответственно даны уравнениями , , . Вычислить расстояние от центра масс этого треугольника до стороны ВС.

322 Вычислить расстояние d между параллельными прямыми в каждом из следующих случаев:

322.1 , ;

322.2 , ;

322.3 , ;

322.4 , .

323 Две стороны квадрата лежат на прямых , . Вычислить его площадь.

324 Доказать, что прямая параллельна прямым , и делит расстояние между ними пополам.

325 Даны параллельные прямые , , . Установить, что первая из них лежит между двумя другими, и вычислить отношение, в котором она делит расстояние между ними.

326 Доказать, что через точку Р(2; 7) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки Q(1; 2) были равны 5. Составить уравнения этих прямых.

327 Доказать, что через точку Р(2; 5) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки Q(5; 1) были равны 3. Составить уравнения этих прямых.

328 Доказать, что через точку С(7; -2) можно провести только одну прямую так, чтобы расстояние ее от точки А(4; -6) было равно 5. Составить ее уравнение.

329 Доказать, что через точку В(4; -5) невозможно провести прямую, чтобы расстояние от точки С(-2; 3) было равно 12.

330 Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от прямых равно –2.

331 Составить уравнение прямых, параллельных прямой и отстоящие от нее на расстояние d=3.

332 Даны две смежные вершины квадрата А(2; 0) и В(-1; 4). Составить уравнения его сторон.

333 Точка А(5; -1) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.

334 Даны уравнения двух сторон квадрата , и одна из его вершин А(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого квадрата.

335 Даны уравнения двух сторон квадрата , . Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка M₁(-3; 5) лежит на стороне этого квадрата.

336 Отклонения точки М от прямых , равны соответственно –3 и –5. Определить координаты точки М.

337 Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(-2; 3) на одинаковых расстояниях от точек А(5; -1) и В(3; 7).

338 Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми:

338.1 , ;

338.2 , ;

338.3 , ;

339 Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми:

339.1 , ;

339.2 , ;

339.3 , .

340 Составить уравнения прямых, которые проходят через точку Р(2; -1) и вместе с прямыми , образуют равнобедренные треугольники.

341 Определить, лежат ли точки М(1; -2) и начало координат в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух прямых:

341.1 , ;

341.2 , ;

341.3 , .

342 Определить, лежат ли точки М(2; 3) и N(5; -1) в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух прямых:

342.1 , ;

342.2 , ;

342.3 , .

343 Определить, лежит ли начало координат внутри или вне треугольника, стороны которого даны уравнениями , , .

344 Определить, лежит ли точка М(-3; 2) внутри или вне треугольника стороны которого даны уравнениями , , .

345 Определить, какой из углов, острый или тупой, образованных двумя прямыми , содержит начало координат.

346 Определить, какой из углов, острый или тупой, образованный двумя прямыми , , содержит точку М(2; -5).

347 Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми , , в котором лежит начало координат.

348 Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми , , смежного с углом, содержащего начало координат.

349 Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми , , в котором лежит точка М(1; -3).

350 Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми , , смежного с углом, содержащим точку С(2; -1).

351 Составить уравнение биссектрисы острого угла, образованного двумя прямыми , .

352 Составить уравнение биссектрисы тупого угла, образованного двумя прямыми , .

Текст издания: © Д.В.Клетенник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/

309		Определить, какие из следующих уравнений прямых являются нормальными:
	309.1	;
	309.2	;
	309.3	;
	309.4	;
	309.5	;
	309.6	;
	309.7	;
	309.8	.
310		Привести общее уравнение прямой к нормальному виду в каждом из следующих случаев:
	310.1	;
	310.2	;
	310.3	;
	310.4	;
	310.5	.
311		Даны уравнения прямых. Определить полярный угол нормали и отрезок p для каждой из данных прямых: по полученным значениям параметров и р построить эти прямые на четеже (в последних двух случаях построение прямой выполнить, считая =30⁰ и q=2).
	311.1	;
	311.2	;
	311.3	;
	311.4	;
	311.5	;
	311.6	;
	311.7	;
	311.8	, q>0, - острый угол.
	311.9	, q>0, - острый угол.
312		Вычислить величину отклонения и расстояние d от точки до прямой в каждом из следующих случаев:
	312.1	A(2; -1), ;
	312.2	B(0; -3), ;
	312.3	P(-2; 3), ;
	312.4	Q(1; -2), .
313		Установить, лежат ли точка М(1; -3) и начало координат по одну или разные стороны каждой из следующих прямых:
	313.1	;
	313.2	;
	313.3	;
	313.4	;
	313.5	.
314		Точка А(2; -5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Вычислить площадь этого квадрата.
315		Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и одна из его вершин А(-2; 1). Вычислить площадь этого прямоугольника.
316		Доказать, что прямая пересекает отрезок, ограниченный точками А(-5; 1), В(3; 7).
317		Доказать, что прямая не пересекает отрезка, ограниченного точками M₁(-2; -3), M₂(1; -2).
318		Последовательные вершины четырехугольника суть точки A(-1; 6), B(-1; -4), C(7; -1), D(2; 9). Установить, является ли этот четырехугольник выпуклым.
319		Последовательные вершины четырехугольника суть точки A(-1; 6), B(1; -3), C(4; 10), D(9; 0). Установит, является ли этот четырехугольник выпуклым.
320		Даны вершины треугольника A(-10; -13), B(-2; 3), C(2; 1). Вычислить длину перпендикуляра, оущенного из вершины В на медиану, проведенную из вершины С.
321		Стороны АВ, ВС, СА треугольника АВС, соответственно даны уравнениями , , . Вычислить расстояние от центра масс этого треугольника до стороны ВС.
322		Вычислить расстояние d между параллельными прямыми в каждом из следующих случаев:
	322.1	, ;
	322.2	, ;
	322.3	, ;
	322.4	, .
323		Две стороны квадрата лежат на прямых , . Вычислить его площадь.
324		Доказать, что прямая параллельна прямым , и делит расстояние между ними пополам.
325		Даны параллельные прямые , , . Установить, что первая из них лежит между двумя другими, и вычислить отношение, в котором она делит расстояние между ними.
326		Доказать, что через точку Р(2; 7) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки Q(1; 2) были равны 5. Составить уравнения этих прямых.
327		Доказать, что через точку Р(2; 5) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки Q(5; 1) были равны 3. Составить уравнения этих прямых.
328		Доказать, что через точку С(7; -2) можно провести только одну прямую так, чтобы расстояние ее от точки А(4; -6) было равно 5. Составить ее уравнение.
329		Доказать, что через точку В(4; -5) невозможно провести прямую, чтобы расстояние от точки С(-2; 3) было равно 12.
330		Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от прямых равно –2.
331		Составить уравнение прямых, параллельных прямой и отстоящие от нее на расстояние d=3.
332		Даны две смежные вершины квадрата А(2; 0) и В(-1; 4). Составить уравнения его сторон.
333		Точка А(5; -1) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.
334		Даны уравнения двух сторон квадрата , и одна из его вершин А(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого квадрата.
335		Даны уравнения двух сторон квадрата , . Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка M₁(-3; 5) лежит на стороне этого квадрата.
336		Отклонения точки М от прямых , равны соответственно –3 и –5. Определить координаты точки М.
337		Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(-2; 3) на одинаковых расстояниях от точек А(5; -1) и В(3; 7).
338		Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми:
	338.1	, ;
	338.2	, ;
	338.3	, ;
339		Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми:
	339.1	, ;
	339.2	, ;
	339.3	, .
340		Составить уравнения прямых, которые проходят через точку Р(2; -1) и вместе с прямыми , образуют равнобедренные треугольники.
341		Определить, лежат ли точки М(1; -2) и начало координат в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух прямых:
	341.1	, ;
	341.2	, ;
	341.3	, .
342		Определить, лежат ли точки М(2; 3) и N(5; -1) в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух прямых:
	342.1	, ;
	342.2	, ;
	342.3	, .
343		Определить, лежит ли начало координат внутри или вне треугольника, стороны которого даны уравнениями , , .
344		Определить, лежит ли точка М(-3; 2) внутри или вне треугольника стороны которого даны уравнениями , , .
345		Определить, какой из углов, острый или тупой, образованных двумя прямыми , содержит начало координат.
346		Определить, какой из углов, острый или тупой, образованный двумя прямыми , , содержит точку М(2; -5).
347		Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми , , в котором лежит начало координат.
348		Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми , , смежного с углом, содержащего начало координат.
349		Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми , , в котором лежит точка М(1; -3).
350		Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми , , смежного с углом, содержащим точку С(2; -1).
351		Составить уравнение биссектрисы острого угла, образованного двумя прямыми , .
352		Составить уравнение биссектрисы тупого угла, образованного двумя прямыми , .