Глава 17. Окружность

Глава 17. Окружность

Уравнение

(1)

определяет окружность радиуса R с центром C(; ).

Если центр опружности совпадает с началом координат, то есть если , , то уравнение (1) принимает вид

(2).

385 Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:

385.1 центр окружности совпадает с началом координат и ее радиус R=3;

385.2 центр окружности совпадает с точкой С(2; -3) и ее радиус R=7;

385.3 окружность проходит через начало координат и ее центр совпадает с точкой С(6; -8);

385.4 окружность проходит через точку А(2; 6) и ее центр совпадает с точкой С(-1; 2);

385.5 точки А(3; 2) и В(-1; 6) являются концами одного из диаметров окружности;

385.6 центр окружности совпадает с началом координат и прямая является касательной к окружности;

385.7 центр окружности совпадает с точкой С(1; -1) и прямая является касательной к окружности;

385.8 окружность проходит через точки А(3; 1) и В(-1; 3), а ее центр лежит на прямой ;

385.9 окружность проходит через три точки А(1; 1), В(1; -1), С(2; 0);

385.10 окружность проходит через три точки: М₁(-1; 5), М₂(-2; -2). М₃(5; 5).

386 Точка С(3; -1) является центром окружности, отсекающей на прямой хорду, длина которой равна 6. Составить уравнение этой окружности.

387 Написать уравнения окружностей радиуса , касающихся прямой в точке М₁(3; 1).

388 Составить уравнение окружности, касающейся прямых , , причем одна из них – в точке А(2; 1).

389 Составить уравнения окружностей, которые проходят через точку А(1; 0) и касаются прямых , .

390 Составить уравнение окружности, которая, имея центр на прямой , касается прямых , .

391 Составить уравнения окружностей, касающихся прямых , , причем одной из них – в точке М₁(1; 2).

392 Составить уравнения окружностей, проходящих через начало координат и касающихся прямых , .

393 Составить уравнение окружностей, которые, имея центры на прямой , касаются прямых , .

394 Написать уравнения окружностей, проходящих через точку А(-1; 5) и касающихся прямых , .

395 Написать уравнения окружностей, касающихся прямых , , .

396 Написать уравнения окружностей, касающихся прямых , , .

397 Какие из нижеприводимых уравнений определяют окружности? Найти центр С и радиус R каждой из них:

397.1 ;

397.2 ;

397.3 ;

397.4 ;

397.5 ;

397.6 ;

397.7 ;

397.8 ;

397.9 ;

397.10 .

398 Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.

398.1 ;

398.2 ;

398.3 ;

398.4 ;

398.5 ;

398.6 ;

398.7 ;

398.8 ;

398.9 ;

398.10 .

399 Установить, как расположена точка А(1; -2) относительно каждой из следующих окружностей – внутри, вне или на контуре:

399.1 ;

399.2 ;

399.3 ;

399.4 ;

399.5 .

400 Определить уравнение линии центров двух окружностей, заданных уравнениями:

400.1 и ;

400.2 и ;

400.3 и ;

400.4 и .

401 Составить уравнение диаметра окружности , перпендикулярного к прямой .

402 Вычислить кратчайшее расстояние от точки до окружности в каждом из следующих случаев:

402.1 А(6; -8), ;

402.2 В(3; 9), ;

402.3 С(-7; 2), .

403 Определить координаты точек пересечения прямой и окружности .

404 Определить, как расположена прямая относительно окружности (пересекает ли, касаетлся или проходит вне ее), если прямая и окружность заданы следующими уравнениями:

404.1 , ;

404.2 , ;

404.3 , .

405 Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая :

405.1 пересекает окружность ;

405.2 касается этой окружности;

405.3 проходит вне этой окружности.

406 Вывести условие, при котором прямая касается окружности .

407 Составить уравнние диаметра окружности , проходящего через середину хорды, отсекаемой на прямой .

408 Составить уравнение хорды окружности , делящейся в точке М(8,5; 3,5) пополам.

409 Определить длину хорды окружности , делящейся в точке А(1; 2) пополам.

410 Дано уравнение пучка прямых . Найти прямые этого пучка, на которых окружность отсекает хорды длиною .

411 Даны окружности , , пересекающиеся в точках М₁(x₁, y₁), М₂(x₂, y₂). Доказать, что любая окружность, проходящая через точки М₁, М₂, а также прямая М₁М₂ могут быть определены уравнением вида при надлежащем выборе числе и .

412 Составить уравнение окружности, проходящей через точку А(1; -1) и точки пересечения окружностей , .

413 Составить уравнение окружности, проходящей через начало координат и точки пересечения окружностей , .

414 Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения окружностей , .

415 Вычислить расстояние от центра окружности до прямой, проходящей через точки пересечения окружностей , .

416 Определить длину общей хорды окружностей , .

417 Центр окружности лежит на прямой . Составить уравнение этой окружности, если известно, что она проходит через точки пересечения окружностей , .

418 Составить уравнение касательной к окружности в точке А(-1; 2).

419 Составить уравнение касательной к окружности в точке А(-5; 7).

420 На окружности найти точку М₁, ближайшую к прямой , и вычислить расстояние d от точки М₁ до этой прямой.

421 Точка М₁(x₁, y₁) лежит на окружности . Составить уравнение касательной к этой окружности в точке М₁.

422 Точка М₁(x₁, y₁) лежит на окружности . Составить уравнение касательной к этой окружности в точке М₁.

423 Определить острый угол, образованный при пересечении прямой и окружности (углом между прямой и окружности называется угол между прямой и касательной к окружности, проведенной к точке их пересечения).

424 Определить, при каким углом пересекаются окружности , (углом между окружностями называется угол между их касательными в точке пересечения).

425 Вывести условие, при котором окружности, пересекаются под прямым углом.

426 Доказать, что окружности , пересекаются под прямым углом.

427 Из точки А(5/3; -5/3) проведены касательной к окружности . Составить их уравнения.

428 Из точки А(1; 6) проведены касательные к окружности . Составить их уравнения.

429 Дано уравнение пучка прямых . Найти прямые этого пучка, которые касаются окружности .

430 Из точки А(4; 2) проведены касательные к окружности . Определить угол, образованный этими касательными.

431 Из точки Р(2; -3) проведены касательные к окружности . Составить уравнение хорды, соединяющий точки касания.

432 Из точки С(6; -8) проведены касательные к окружности . Вычислить расстояние d от точки С до хорды, соединяющей точки касания.

433 Из точки Р(-9; 3) проведены касательные к окружности . Вычислить расстояние d от центра окружности до хорды, соединяющей точки касания.

434 Из точки Р(4; -4) проведены касательные к окружности . Вычислить длину d хорды, соединяющей точки касания.

435 Вычислить длину касательной, проведенной из точки А(1; -2) к окружности .

436 Составить уравнение касательных к окружности , параллельных прямой .

437 Составить уравнения касательных к окружности , перпендикулярных к прямой .

438 Составить уравнение окружности в полярных координатах в полярных координатах по данному радиусу R и полярным координатам центра C(R, ).

439 Составить уравнение окружности в полярных координатах по данному радиусу R и полярным координатам центра окружности:

439.1 C(R, 0);

439.2 C(R, );

439.3 C(R, );

439.4 C(R, ).

440 Определить полярные координаты центра и радиус каждой из следующих окружностей:

440.1 ;

440.2 ;

440.3 ;

440.4 ;

440.5 ;

440.6 ;

440.7 ).

441 Окружности заданы уравнениями в полярных координатах. Составить их уравнения в декартовых прямоугольных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс – с началом координат.

441.1 ;

441.2 ;

441.3 .

442
Окружности заданы уравнениями в декартовых прямоугольных координатах. Составить уравнения этих окружностей в полярных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс – с началом координат.

442.1 ;

442.2 ;

442.3 ;

442.4 ;

442.5 .

443 Составить полярное уравнение касательной к окружности в точке М₁(R, ).

Текст издания: © Д.В.Клетенник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/

385		Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:
	385.1	центр окружности совпадает с началом координат и ее радиус R=3;
	385.2	центр окружности совпадает с точкой С(2; -3) и ее радиус R=7;
	385.3	окружность проходит через начало координат и ее центр совпадает с точкой С(6; -8);
	385.4	окружность проходит через точку А(2; 6) и ее центр совпадает с точкой С(-1; 2);
	385.5	точки А(3; 2) и В(-1; 6) являются концами одного из диаметров окружности;
	385.6	центр окружности совпадает с началом координат и прямая является касательной к окружности;
	385.7	центр окружности совпадает с точкой С(1; -1) и прямая является касательной к окружности;
	385.8	окружность проходит через точки А(3; 1) и В(-1; 3), а ее центр лежит на прямой ;
	385.9	окружность проходит через три точки А(1; 1), В(1; -1), С(2; 0);
	385.10	окружность проходит через три точки: М₁(-1; 5), М₂(-2; -2). М₃(5; 5).
386		Точка С(3; -1) является центром окружности, отсекающей на прямой хорду, длина которой равна 6. Составить уравнение этой окружности.
387		Написать уравнения окружностей радиуса , касающихся прямой в точке М₁(3; 1).
388		Составить уравнение окружности, касающейся прямых , , причем одна из них – в точке А(2; 1).
389		Составить уравнения окружностей, которые проходят через точку А(1; 0) и касаются прямых , .
390		Составить уравнение окружности, которая, имея центр на прямой , касается прямых , .
391		Составить уравнения окружностей, касающихся прямых , , причем одной из них – в точке М₁(1; 2).
392		Составить уравнения окружностей, проходящих через начало координат и касающихся прямых , .
393		Составить уравнение окружностей, которые, имея центры на прямой , касаются прямых , .
394		Написать уравнения окружностей, проходящих через точку А(-1; 5) и касающихся прямых , .
395		Написать уравнения окружностей, касающихся прямых , , .
396		Написать уравнения окружностей, касающихся прямых , , .
397		Какие из нижеприводимых уравнений определяют окружности? Найти центр С и радиус R каждой из них:
	397.1	;
	397.2	;
	397.3	;
	397.4	;
	397.5	;
	397.6	;
	397.7	;
	397.8	;
	397.9	;
	397.10	.
398		Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.
	398.1	;
	398.2	;
	398.3	;
	398.4	;
	398.5	;
	398.6	;
	398.7	;
	398.8	;
	398.9	;
	398.10	.
399		Установить, как расположена точка А(1; -2) относительно каждой из следующих окружностей – внутри, вне или на контуре:
	399.1	;
	399.2	;
	399.3	;
	399.4	;
	399.5	.
400		Определить уравнение линии центров двух окружностей, заданных уравнениями:
	400.1	и ;
	400.2	и ;
	400.3	и ;
	400.4	и .
401		Составить уравнение диаметра окружности , перпендикулярного к прямой .
402		Вычислить кратчайшее расстояние от точки до окружности в каждом из следующих случаев:
	402.1	А(6; -8), ;
	402.2	В(3; 9), ;
	402.3	С(-7; 2), .
403		Определить координаты точек пересечения прямой и окружности .
404		Определить, как расположена прямая относительно окружности (пересекает ли, касаетлся или проходит вне ее), если прямая и окружность заданы следующими уравнениями:
	404.1	, ;
	404.2	, ;
	404.3	, .
405		Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая :
	405.1	пересекает окружность ;
	405.2	касается этой окружности;
	405.3	проходит вне этой окружности.
406		Вывести условие, при котором прямая касается окружности .
407		Составить уравнние диаметра окружности , проходящего через середину хорды, отсекаемой на прямой .
408		Составить уравнение хорды окружности , делящейся в точке М(8,5; 3,5) пополам.
409		Определить длину хорды окружности , делящейся в точке А(1; 2) пополам.
410		Дано уравнение пучка прямых . Найти прямые этого пучка, на которых окружность отсекает хорды длиною .
411		Даны окружности , , пересекающиеся в точках М₁(x₁, y₁), М₂(x₂, y₂). Доказать, что любая окружность, проходящая через точки М₁, М₂, а также прямая М₁М₂ могут быть определены уравнением вида при надлежащем выборе числе и .
412		Составить уравнение окружности, проходящей через точку А(1; -1) и точки пересечения окружностей , .
413		Составить уравнение окружности, проходящей через начало координат и точки пересечения окружностей , .
414		Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения окружностей , .
415		Вычислить расстояние от центра окружности до прямой, проходящей через точки пересечения окружностей , .
416		Определить длину общей хорды окружностей , .
417		Центр окружности лежит на прямой . Составить уравнение этой окружности, если известно, что она проходит через точки пересечения окружностей , .
418		Составить уравнение касательной к окружности в точке А(-1; 2).
419		Составить уравнение касательной к окружности в точке А(-5; 7).
420		На окружности найти точку М₁, ближайшую к прямой , и вычислить расстояние d от точки М₁ до этой прямой.
421		Точка М₁(x₁, y₁) лежит на окружности . Составить уравнение касательной к этой окружности в точке М₁.
422		Точка М₁(x₁, y₁) лежит на окружности . Составить уравнение касательной к этой окружности в точке М₁.
423		Определить острый угол, образованный при пересечении прямой и окружности (углом между прямой и окружности называется угол между прямой и касательной к окружности, проведенной к точке их пересечения).
424		Определить, при каким углом пересекаются окружности , (углом между окружностями называется угол между их касательными в точке пересечения).
425		Вывести условие, при котором окружности, пересекаются под прямым углом.
426		Доказать, что окружности , пересекаются под прямым углом.
427		Из точки А(5/3; -5/3) проведены касательной к окружности . Составить их уравнения.
428		Из точки А(1; 6) проведены касательные к окружности . Составить их уравнения.
429		Дано уравнение пучка прямых . Найти прямые этого пучка, которые касаются окружности .
430		Из точки А(4; 2) проведены касательные к окружности . Определить угол, образованный этими касательными.
431		Из точки Р(2; -3) проведены касательные к окружности . Составить уравнение хорды, соединяющий точки касания.
432		Из точки С(6; -8) проведены касательные к окружности . Вычислить расстояние d от точки С до хорды, соединяющей точки касания.
433		Из точки Р(-9; 3) проведены касательные к окружности . Вычислить расстояние d от центра окружности до хорды, соединяющей точки касания.
434		Из точки Р(4; -4) проведены касательные к окружности . Вычислить длину d хорды, соединяющей точки касания.
435		Вычислить длину касательной, проведенной из точки А(1; -2) к окружности .
436		Составить уравнение касательных к окружности , параллельных прямой .
437		Составить уравнения касательных к окружности , перпендикулярных к прямой .
438		Составить уравнение окружности в полярных координатах в полярных координатах по данному радиусу R и полярным координатам центра C(R, ).
439		Составить уравнение окружности в полярных координатах по данному радиусу R и полярным координатам центра окружности:
	439.1	C(R, 0);
	439.2	C(R, );
	439.3	C(R, );
	439.4	C(R, ).
440		Определить полярные координаты центра и радиус каждой из следующих окружностей:
	440.1	;
	440.2	;
	440.3	;
	440.4	;
	440.5	;
	440.6	;
	440.7	).
441		Окружности заданы уравнениями в полярных координатах. Составить их уравнения в декартовых прямоугольных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс – с началом координат.
	441.1	;
	441.2	;
	441.3	.
442		Окружности заданы уравнениями в декартовых прямоугольных координатах. Составить уравнения этих окружностей в полярных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс – с началом координат.
	442.1	;
	442.2	;
	442.3	;
	442.4	;
	442.5	.
443		Составить полярное уравнение касательной к окружности в точке М₁(R, ).