Глава 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор

В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее нормальным вектором. Уравнение

(1)

определяет плоскость, проходящую через точку и имеющей нормальный вектор .

Раскрывая в уравнении (1) скобки и обозначая число буквой D, представим его в виде

.

Это уравнение называется общим уравнением плоскости.

913 Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(2; 1; -1) и имеет нормальный вектор n={1; -2; 3}.
914 Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор n={5; 0; -3}.
915 Точка Р(2; -1; -1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.
916 Даны точки M1(3; -1; 2), M2(4; -2; -1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору .
917 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(3; 4; -5) параллельно векторам a1={3; 1; -1) и a2={1; -2; 1}.
918  

Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0, y0, z0) параллельно векторам a1={l1, m1, n1} и a2={l2; m2; n2}, может быть представлено в следующем виде:

.

919 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(2; -1; 3), M2(3; 1; 2) параллельно вектору a={3; -1; 4}.
920  

Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки M1(x1; y1; z1), M2(x2, y2, z2) параллельно вектору a={l; m; n}, может быть представлено в следующем виде:

.

921 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1(3; -1; 2), М2(4; -1; -1), М3(2; 0; 2).
922  

Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки M1(x1; y1; z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3; y3; z3), может быть представлено в следующем виде:

.

923 Определить координаты какого-нибудь нормального вектора каждой из следующих плоскостей. В каждом случае написать общее выражение координат произвольного нормального вектора:
923.1 ;
923.2 ;
923.3 ;
923.4 ;
923.5 ;
923.6 .
924 Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости:
924.1  , ;
924.2 , ;
924.3 , .
925 Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:
925.1 , ;
925.2 , ;
925.3  , .
926 Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять параллельные плоскости:
926.1 , ;
926.2 , ;
926.3 , .
927 Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости:
927.1 , ;
927.2 , ;
927.3 , .
928 Определить двугранные углы, образованные пересечением следующих пар плоскостей:
928.1 , ;
928.2 , ;
928.3 , ;
928.4 , .
929 Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости .
930 Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(3; -2; -7) параллельно плоскости .
931 Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям , .
932 Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(2; -1; 1) перпендикулярно к двум плоскостям , .
933

Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0; y0; z0) перпендикулярно к плоскостям , , может быть представлено в следующем виде:

.

934 Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки М1(1; -1; -2), M2(3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости .
935

Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через две точки M1(x1; y1; z1), M2(x2, y2, z2) перпендикулярно к плоскости , может быть представлено в следующем виде:

.

936 Установить, что три плоскости , , имеют общую точку, и вычислить ее координаты.
937 Доказать, что три плоскости , , проходят через одну прямую.
938 Доказать, что три плоскости , , пересекаются по трем различным параллельным прямым.
939 Определить, при каких значениях a и b плоскости , , :
939.1 имеют одну общую точку;
939.2 проходят через одну прямую;
939.3 пересекаются по трем различным параллельным прямым.

Текст издания: © Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/