Глава 41. Уравнения прямой

Прямая как пересечение двух плоскостей определяется совместно заданием двух уравнений первой степени

, (1)

при условии, что коэффициенты , , первого из них не пропорциональны коэффициентам , , второго (в противном случае эти уравнения будут определять параллельные или слившиеся плоскости).

Пусть некоторая прямая a определена уравнениями (1), и - какие угодно числа, одновременно не равные нулю; тогда уравнение

(2)

определяет плоскость, проходящую через прямую а.

Уравнением вида (2) (при соответствующем выборе чисел , ) можно определить любую плоскость, проходящую через прямую а.

Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей. Уравнение вида (2) называется уравнением пучка плоскостей.

Если , то полагая , уравнение (2) можно привести к виду

. (3)

В таком виде уравнение пучка плоскостей более употребительно, чем уравнение (2), однако уравнением (3) можно определить все плоскости пучка, за исключением той, которая соответствует , то есть за исключением плоскости .

982 Составить уравнения прямых, образованных пересечением плоскости с координатными плоскостями.
983 Составить уравнения прямой, образованных пересечением плоскости с плоскостью, проходящей через ось Ох и точку Е(3; 2; -5).
984 Найти точки пересечения прямой с координатными плоскостями.
985 Доказать, что прямая пересекает ось Оу.
986 Определить, при каком значении D прямая пересекает:
986.1 ось Ох;
986.2 ось Оу;
986.3 ось Oz.
987 Найти соотношения, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнений прямой для того, чтобы эта прямая была параллельна:
987.1 оси Ох;
987.2 оси Оу;
987.3 оси Oz.
988 Найти соотношения, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнений прямой для того, чтобы эта прямая:
988.1 пересекала ось абсцисс;
988.2 пересекала ось ординат;
988.3 пересекала ось апликат;
988.4 совпадала с осью абсцисс;
988.5 совпадала с осью ординат;
988.6 совпадала с осью апликат.
989 В пучке плоскостей найти плоскость, которая:
989.1 проходит через точку М1(1; -2; 3);
989.2 параллельна оси Ох;
989.3 параллельна оси Оу;
989.4 параллельна оси Oz.
990 Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую пересечения плоскостей , :
990.1 и через точку М1(4; -2; -3);
990.2 параллельно оси Ох;
990.3 параллельно оси Оу;
990.4 параллельно оси Oz.
991 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей , параллельно вектору l={2; -1; -2}.
992 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей , параллельно вектору l={7; 9; 17}.
993 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей , перпендикулярно плоскости .
994 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости .
995 Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую пересечения плоскостей , параллельно отрезку, ограниченному точками М1(2; 5; -3), М2(3; -2; 2).
996 Написать уравнение плоскости, принадлежащей пучку плоскостей и равноудаленной от точек М1(3; -4; -6) и М2(1; 2; 2).
997 Определить, принадлежит ли плоскость пучку плоскостей .
998 Определить, принадлежит ли плоскость пучку плоскостей .
999 Определить, при каких значениях l и m плоскость принадлежит пучку плоскостей .
1000 Написать уравнение плоскости, которая принадлежит пучку плоскостей и отстоит от начала координат на расстояние d=3.
1001 Написать уравнение плоскости, которая принадлежит пучку плоскостей и отстоит от точки С(3; -2; -3) на расстояние d=7.
1002 Найти уравнение плоскости, которая принадлежит пучку плоскостей и отсекает от координатного угла Оху треугольник с площадью, равной 6.
1003 Составить уравнения плоскостей, проектирующих прямую на координатные плоскости.
1004 Составить уравнения проекций прямой на координатные плоскости.
1005 Составить уравнение плоскости, проектирующей прямую на плоскость .
1006 Составить уравнения проекции прямой на плоскость .

Текст издания: © Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/