Глава 45. Уравнения плоскости, прямой и сферы в векторной символике

В дальнейшем символ означает, что есть радиус-вектор точки М.

1121 Составить уравнение плсокости , которая проходит через точку М0() и имеет нормальный вектор .
1122 Доказать, что уравнение определяет плоскость, перпендикулярную к ветору . Написать уравнение этой плоскости в координатах при условии, что n={A, B, C}.
1123 Даны единичный вектор и число р>0. Доказать, что уравнение определяет плоскость, перпендикулярную к вектору, и что р есть расстояние от начала координат до плоскости. Написать уравнение этой плоскости в координатах при условии, что вектор образует с координатными осями углы , и .
1124 Вычислить расстояние d от точки М1() до плоскости . Выразить расстояние d также в координатах при условии, что ={x1; y1; z1}, ={cos; cos; cos}.
1125 Даны две точки М1(), M2(). Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1 перпендикулярно к вектору . Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что ={x1; y1; z1), ={x2; y2; z2}.
1126 Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М0() параллельно векторам , . Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что ={x0; y0; z0}, ={l1; m1; n1}, ={l2, m2, n2}.
1127 Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки М1(r1), M2(r2), M3(r3). Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что ={x1; y1; z1}, ={x2; y2; z2}, ={x3; y3; z3}.
1128 Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М0() перпендикулярно к плоскостям , . Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что ={x0; y0; z0}, ={A1; B1; C1}, ={A2; B2; C2}.
1129 Доказать, что уравнение определяет прямую, которую проходит через точку М0() параллельно вектору , то есть что этому уравнению удовлетворяет радиус-вектор точки М() в том, и только в в том случае, когда М лежит на указанной прямой.
1130 Доказать, что уравнение определяет прямую, параллельную вектору .
1131 Доказать, что параметрическое уравнение , где t – переменный параметр, определяет прямую, которая проходит через точку М0() (т.е. при изменении t точка М() движется по указанной прямой). Написать в координатах канонические уравнения этой прямой при условии, что ={x0; y0; z0}, ={l; m; n}.
1132 Прямая проходит через две точки М1() и М2(). Составить ее уравнения в виде, указанном в задачах 1129, 1130, 1131.
1133 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1() перпендикулярно к прямой . Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что ={x1; y1; z1}, ={l; m; n}.
1134 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0() параллельно прямым , .
1135 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0() перпендикулярно к плоскостям , .
1136 Прямая проходит через точку М0() перпендикулярно к плоскости . Составить ее уравнение в параметрическом виде. Написать каноническое уравнение этой прямой в координатах при условии, что ={x0; y0; z0}, ={A; B; C}.
1137 Прямая проходит через точку М0() параллельно плоскостям , . Составить каноническое уравнение этой прямой в координатах при условии,что ={x0; y0; z0}, ={A1; B1; C1}, ={A2; B2; C2}.
1138 Вывести условие, при котором прямая лежит на плоскости . Написать это условие также в координатах при условии, что ={x0; y0; z0}, ={l; m; n}, ={A; B; C}.
1139 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой .
1140 Вывести условие, пир котором две прямые и лежат в одной плоскости.
1141 Найти радиус-вектор точки пересечения прямой и плоскости . Вычислить также координаты x, y, z точки пересечения при условии, что ={x0, y0, z0}, ={l, m, n}, ={A; B; C}.
1142 Найти радиус-вектора проекции М1() на плоскость . Вычислить также координаты x, y, z этой проекции при условии, что ={x1; y1; z1}, ={A; B; C}.
1143 Найти радиус-вектор проекции точки M1() на прямую . Вычислить также координаты x, y, z этой проекции при условии, что ={x1; y1; z1}, ={x0, y0, z0}, ={l, m, n}.
1144 Вычислить расстояние d точки M1() от прямой . Выразить расстояние d также в координатах при условии, что ={x1; y1; z1}, ={x0, y0, z0}, ={l, m, n}.
1145 Вычислить кратчайшее расстояние d между скрещивающимися прямыми и . Выразить расстояние d также в координатах при условии, что ={x1; y1; z1}, ={x2; y2; z2}, ={l1; m1; n1}, ={l2; m2; n2}.
1146 Доказать, что уравнение определяет сферу с центром C() и радиусом, равным R (т.е. что этому уравнению удовлетворяет радиус-вектор точки М в том и только в том случае, когда М лежит на указанной сфере).
1147 Найти радиус-векторы точек пересечения прямой и сферы . Вычислить также координаты точек пересечения при условии, что ={l; m; n}.
1148 Найти радиус-векторы точек пересечения прямой и сферы . Вычислить также координаты точек пересечения при условии, что ={x0, y0, z0}, ={l, m, n}.
1149 Точка M1() лежит на сфере . Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке М.
1150 Составить уравнение сферы, которая имеет центр С() и касается плоскости . Написать уравнение этой сферы также в координатах при условии, что ={x1; y1; z1}, ={A; B; C}.
1151 Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере и параллельных плоскости . Написать уравнения этих плоскостей также в координатах при условии, что ={A; B; C}.
1152 Через точки пересечения и сферы проведены касательные плоскости к этой сфере. Составить их уравнения. Написать уравнения этих плоскостей также в координатах при условии, что ={x0, y0, z0}, ={l, m, n}.

Текст издания: © Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/